Найти значение производной данной функции в обозначенной точке x0 а) y=e^x/x+1

Найдем производную функции y = e^x / (x + 1)

Осмотрим функцию y = e^x / (x + 1). Это трудная функция, представляющая собой частное функции f (x) = e^x и g (x) = x + 1.

Воспользуемся формулой для нахождения производной частного функций:

у (х) = (f (x) / g (x)) = (f (x) * g (x) f (x) * g (x)) / g² (x).

Найдем сочиняющие данной формулы:

• f (x) = e^x;
• f (x) = e^x;
• g (x) = x + 1;
• g (x) = 1.

Подставим в формулу:

у (х) = (e^x / (x + 1)) = (e^x (x + 1) - e^x * 1) / (х + 1)².

Упростим выражение:

у (х) = e^x (x + 1 - 1)  / (х + 1)² = х e^x/ (х + 1)².

Найдем значение производной функции y = e^x / (x + 1) в точке х₀ = 0

у (0) = 0 * e⁰/ (0 + 1)² = 0 * 1 / 1 = 0.

Ответ: у (0) = 0.

Найдем производную функции y = e^{0,5х 3}

Воспользуемся формулой производной трудной функции.

y (x) = (e^{0,5х 3}) = e^{0,5х 3} * (0,5х 3) = e^{0,5х 3} * 0,5 = 0,5 e^{0,5х 3}.

Найдем значение производной функции y = e^{0,5х 3} в точке х₀ = 4

y (4) = 0,5 e^{0,5 * 4 3} = 0,5 е^{2 3} = 0,5 е^-1 = 0,5 / е = 1 /2е.

Ответ: y (4) = 1 /2е.

Найдем значения производной заданной функции в обозначенной точке x0.

а) y = e ^ x/(x + 1), x0 = 0;

y = (e ^ x/(x + 10) = ((e ^ x) * (x + 1) - (x + 1) * e ^ x)/(x + 1) ^ 2 = (e ^ x * (x + 1) - (1 + 0) * e ^ x)/(x + 10) ^ 2 = (e ^ x * x + e ^ x - e ^ x)/(x + 1) ^ 2 = x * e ^ x/(x + 1) ^ 2;

y (0) = 0 * e ^ 0/(0 + 1) ^ 2 = 0/1 = 0;

Ответ: y (0) = 0.

б) y = e ^ 0,5 * x - 3, x0 = 4;

y = ( e ^ 0,5 * x - 3) = e ^ (0.5 * x) * (0.5 * x) - 0 = 0.5 * e ^ (0.5 * x) = 1/2 * e ^ (1/2 * 4) = 1/2 * e ^ (4/2) = 1/2 * e ^ 2;

Ответ: y (4) = 1/2 * e ^ 2.