Разложите на множители a^4+a^2+1

a⁴ + a² + 1

Это биквадратное уравнение.

Методы разложения на множители биквадратного уравнения

1. С подмогою дискриминанта. Отыскать корешки биквадратного уравнения с подмогою подмены а² другой переменной, например Х. Тогда решение будет выглядеть (х - х₁)(х - х₂), где х₁ и х₂ - корешки уравнения.
2. С поддержкою формул квадрата суммы (квадрата разности): (а + в)² = а² + 2ав + в² либо (а - в)² = а² - 2ав + в².
3. с поддержкою формулы разности квадратов: а² - в² = (а - в)(а + в).

1) Пробуем разложить уравнение a⁴ + a² + 1 с поддержкою дискриминанта.

Пусть а² = х

Выходит уравнение х² + х + 1

D = 1² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 (дискриминант отрицательный, корней уравнения нет).

2) Пробуем разложить на множители с поддержкою формула квадрата суммы.

a⁴ + a² + 1 = (а²)² + 1 * а² + 1²  

Но для формулы квадрата суммы не хватает 2 * 1 * а² . Добавим его и для равновесия вычтем  а² .

(а²)² + 2 *1 * а² + 1²  - а²

Выходит (а² + 1)² - а²

У нас вышла разность квадратов 2-ух выражений: (а² + 1) и а.

Свернем их в скобки по формуле разности квадратов.

((а² + 1) + а)((а² + 1) - а)

Уберем излишние скобки, выходит два множителя.

(а² + 1 + а)(а² + 1 - а)

Ответ: a⁴ + a² + 1 = (а² + а + 1)(а² - а + 1)

Для того, чтоб разложить выражение a ^ 4 + a ^ 2 + 1 на множители, приравняем выражение к 0 и найдем корешки уравнения.

a ^ 4 + a ^ 2 + 1 = 0;

Пусть a ^ 2 = x, тогда получим квадратное уравнение.

x ^ 2 + x + 1 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b 2 - 4 * a * c = 1 2 - 4 1 1 = 1 - 4 = - 3;

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет реальных решений.

Значит, выражение a ^ 4 + a ^ 2 + 1 не раскладывается на множители.

Ответ: выражение a ^ 4 + a ^ 2 + 1 невозможно разложить на множители.