Упростите выражение cos^2a + sin^4a + sin^2a * cos^2a

Для упрощения данного по условию выражения воспользуемся вынесением за скобки общего множителя и основным тригонометрическим тождеством:

sin + cos = 1.

cos + sin + sin * cos = cos + sin * (sin/sin + (sin * cos)/sin) = cos + sin * (sin + cos) = cos + sin * 1 = (любое число, умноженное на 1, одинаково самому себе) = cos + sin = 1.

В этой задаче нужно отыскать значение выражения  cos^2a + sin^4a + sin^2a * cos^2a.

Поэтапный метод решения с разложением синуса

1. Преобразуем выражение в таковой вид: cos²a + sin⁴a + sin²a * cos²a.
2. Представим выражение таким образом: cos²a + sin²a * sin²a + sin²a * cos²a.
3. Пусть sin²a = k. Тогда cos²a + k * k + k * cos²a (это необходимо для облегченного представления).
4. Выносим общий множитель k за скобки: k(k + cos²a). Имеем, что k(k + cos²a) = sin²a(sin²a + cos²a).
5. Обращаем внимание на сумму из предшествующего пт. Примечаем, что sin²a + cos²a - это часть главного тригонометрического тождества: sin²a + cos²a = 1. Означает, заместо суммы мы можем подставить 1. Имеем, что sin²a(sin²a + cos²a) = sin²a.
6. Далее возвращаемся к исходному виду выражения. Запишем более коротко конфигурации: cos²a + sin⁴a + sin²a * cos²a = cos²a + sin²a * sin²a + sin²a * cos²a = cos²a + sin²a(sin²a + cos²a) = cos²a + sin²a.
7. Опять помечаем, что получившееся выражение является долею главного тригонометрического тождества, потому cos²a + sin²a = 1.

Поэтапный метод решения с деяньем на косинусом

Представим выражение из первого метода в таком виде: 1 - sin²a + sin⁴a + sin²a * cos²a.

Преобразуем часть выражения - sin²a + sin²a * cos²a в - sin²a(1 - cos²a).

Определяем, что главное тождество можно представить так: sin²a = 1 - cos²a. Тогда производим подмену: - sin²a(1 - cos²a) = - sin²a * sin²a = - sin⁴a.

Получаем, что 1 - sin²a + sin⁴a + sin²a * cos²a = 1 + sin⁴a - sin⁴a = 1 + sin⁴a - sin⁴a = 1.