13.дано уравнение 2 cos^3 x+ 1 = cos^2 (-3п/2-x)

Решим уравнение 2 * cos ^ 3  x + 1 = cos ^ 2 (- 3п/2 - x)

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 (- 3 * pi/2 x);

Для решения уравнения используем тригонометрические формулы:

• Sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1;
• Cos (- x) = cos x;
• Cos (3 * pi/2 + x) = sin x.

Используя формулу четности тригонометрических функций cos (- x) = cos x получим:

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 (- (3 * pi/2 + x)); 

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos (- (3 * pi/2 + x)) * cos (- (3 * pi/2 + x)); 

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos  (3 * pi/2 + x) * cos (3 * pi/2 + x); 

Используя формулу приведения cos (3 * pi/2 + a) = sin a, тогда получим:

2 * cos ^ 3 x + 1 = sin x * sin x;

2 * cos ^ 3 x + 1 = sin ^ 2 x;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки изменяются на обратный знак. То есть получаем:

2 * cos ^ 3 x + 1 sin ^ 2 x = 0;  

Используя формулу сокращенного умножения sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1, то получим sin ^ 2 x = 1 cos ^ 2 x. Подставим заместо sin ^ 2 x выражение 1  - cos ^ 2 x и получим:

2 * cos ^ 3 x + 1 (1 cos ^ 2 x) = 0;

Поначалу раскрываем скобки. Если перед скобками стоит символ минус, то при ее раскрытии, знаки значений изменяются на противоположный символ. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без конфигураций. То есть получаем:

2 * cos ^ 3 x + 1 1 + cos ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 3 x +  cos ^ 2 x = 0;

Вынесем за скобки общий множитель cos ^ 2 x и получим:

Cos ^ 2 x * (2 * cos x + 1) = 0;

Cos x * cos x * (2 * cos x + 1) = 0;

Получили уравнения cos x = 0 и 2 * cos x + 1 = 0. Решим каждое уравнение по отдельности.

Решим уравнение cos x = 0  

Cos x = 0;

X = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;

Решим уравнение 2 * cos x + 1 = 0 

2 * cos x + 1 = 0;

Известные значения переносим на одну сторону, а безызвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки изменяются на обратный символ. То есть получаем:

2 * cos x = - 1;

Cos x = - ;

X = + - arcos (- ) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

Отсюда получили, что уравнение 2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 (- 3 * pi/2 x) имеет корешки:

• X = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;
• X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z. 

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 (- 3 * п/2 - x);

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 (- (3 * п/2 + x));

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos ^ 2 (3 * п/2 + x);

2 * cos ^ 3 x + 1 = cos (3 * п/2 + x) * cos (3 * pi/2 + x);

2 * cos ^ 3 x + 1 = sin x * sin x;

2 * cos ^ 3 x + 1 - sin ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 3 x + sin ^ 2 x + cos ^ 2 x - sin ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 3 x + cos ^ 2 x = 0;

cos ^ 2 x * (2 * cos x + 1) = 0;

1) cos ^ 2 x = 0;

cos x = 0;

x = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;

2) 2 * cos x + 1 = 0;

2 * cos x = - 1;

cos x = - 1/2;

x = + - arccos (-1/2) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

x = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

Ответ: x = pi/2 + pi * n и x = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z.