Уравнение 2-3x-x^2=5a имеет три разных действительных корня. Каково значение а ?

2 - 3x - x² = 5a

Разложим уравнение на две функции

Данное уравнение состоит из 2-ух функций у = 2 - 3x - x² и у = 5а.

Осмотрим обе функции.

• у = 5а - это линейная функция (5а это какое-то число), то есть ровная, она проходит параллельно оси х, пересекая ось у в точке, равной 5а.
• у = 2 - 3x - x² квадратичная функция, то есть парабола, ветви вниз (перед х² стоит минус), но не имеющая отрицательных значений у (модуль - это всегда положительное число). Значит, ветви параболы идут из верхушки вниз и как только дотрагиваются оси х, идут резко ввысь (как бы отражаясь от зеркала).
• Так как обе функции приравнены 2 - 3x - x² = 5a, значит у их есть точки скрещения, имеющие одинаковые координаты х и у (то есть корни уравнения).

По условию, обязано быть 3 корня, то есть три точки пересечения прямой у = 5а и параболы у = 2 - 3x - x². А это возможно только в одном случае - когда ровная проходит через верхушку параболы и пересекает обе ветки параболы.

Найдем координаты вершины параболы

Координата верхушки параболы х₀ вычисляется по формуле х₀ = - в/2а.

у = 2 - 3x - x²

Поменяем местами одночлены для облегчения расчетов.

у = - x² - 3x + 2 

х₀ = 3/(- 2) = - 1,5

Найдем у₀.

у₀ = - (- 1,5)² - 3 * (- 1,5) + 2 = - 2,25 + 4,5 + 2 = 4,25

Верхушка параболы лежит в точке (- 1,5; 4,25).

прямая у = 5а проходит в точке у = 4,25.

5а = 4,25

а = 0,85

Ответ: Уравнение 2 - 3x - x² = 5a имеет три корня при а = 0,85.

   1. Приведем трехчлен под знаком модуля к стандартному виду, изменив при этом его знак:

      2 - 3x - x^2 = 5a;

      x^2 + 3x - 2 = 5a. (1)

   2. Уравнение (1) может иметь решение при неотрицательных значениях параметра a:

      a 0;

      a [0; ).

   3. При этом условии получим:

      x^2 + 3x - 2 = 5a;

      x^2 + 3x - (2 5a) = 0.

   4. Вычислим дискриминант уравнения:

      D = 3^2 + 4 * (2 5a);

      D = 17 20a;

      D1 = 17 - 20a;

      x1/2 = (-3 D1) / 2; (2)

      D2 = 17 + 20a;

      x3/4 = (-3 D2) / 2. (3)

   5. Из уравнений (2) и (3) следует, что при разных значениях D1 и D2 корешки x1/2 и x3/4 тоже разны. Но так как a 0, то D1 D2, как следует, уравнение будет иметь три корня, если наименьший дискриминант равен нулю:

      D1 = 0;

      17 - 20a = 0;

      20a = 17;

      a = 17/20 = 0,85.

   Ответ: 0,85.