На какое число всегда делиться разность квадрата нечетного числа и числа

Решение задачки.

1. Обозначим через х нечетное число.

2. Число х + 1 будет четным.

3. Введем переменную у, такую что

у = (х + 1) : 2.

4. Так как х + 1 - четное число, то у - целое число.

5. Выразим х через у

х = 2у - 1.

6. х^2 - 1 = (2у - 1)^2 - 1^2.

7. Применим формулу для разности квадратов 2-ух чисел.

(2у - 1)^2 - 1^2 = (2у - 1 - 1) * (2у - 1 + 1) = (2у - 2) * 2у = 4 * у * (у - 1).

8. Так как у - целое число, то у - 1 тоже целое число, и их творенье у * (у - 1) - целое число.

9 Введем переменную z, такую что

z = у * (у - 1). z - целое число.

10. х^2 - 1 = 4 * у * (у - 1) = 4z, z - целое число.

х^2 - 1 кратно числу 4.

Ответ. Разность квадрата нечетного числа и числа 1 всегда делится на 4.