У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,, 55

Пусть Вася положит на весы a1 гирь весом 1кг, b1 гирь весом 2 кг и с1 гирь весом 55 кг.

Петя положит a2, b2, c2 гирь весом 1, 2, 55 кг соответственно.

Тогда можно составить систему уравнений:
a1+2 * b1+55 * c1 - a2-2 * b2-55 * c2 = 50;
a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2;
Преобразуем:
( a1- a2 ) + 2 * ( b1 - b2 ) + 55 * ( c1 - c2 ) = 50;
( a1- a2 ) + ( b1 - b2 ) + ( c1 - c2 ) = 0;
Обозначим x = a1- a2, y = b1 - b2, z = c1 - c2.

Тогда система воспримет вид:
x + 2 * y + 55 * z = 50;
x + y + z = 0;
Система имеет неисчерпаемо много решений:
x = 53 * n+3, y = -2 * ( 27 * n + 2 ), z = n+1, где n целое число
Осмотрим решение при n = 0 (Другие нас не заинтересовывают, так как в их случае количество гирь будет больше 55). x(0) = 3 y(0) = -4 z(0) = 1.

То есть Петя положит на 3 гири массой 1кг меньше, на 4 гири массой 2 кг больше и на 1 гирю массой 55 кг меньше чем Вася, то он выиграет.

Ответ: Да, может.

У задачи есть несколько вариантов решения, и во всех случаях Петя легко выиграет.

Петя прогуливается также как Вася

В этом случае Петя обязан каждый раз выкладывать на свою чашу весов точно такую же гирю, как и Вася.

Так как Петя ходит вторым, то после того, как на весы положит всякую гирю Вася, а вослед точно такую же Петя, то чаши весов уравновесятся. Но в конце концов Вася выложит все гири, кроме пятидесяти килограммовой, и, когда Петя опять уравновесит чаши, то Васе ничего ничего не остается, кроме как выложить заключительную оставшуюся гирю в 50 кг, и, когда он это сделает, то вес его гирь будет ровно на 50 кг тяжелее веса гирь Пети, и Петя выиграет.

Петя ходит любыми гирями не считая пятидесятикилограммовой

В этом случае, чтоб выиграть, Петя должен отложить в сторону пятидесяти килограммовую гирю.

В ходе забавы Петя прогуливается безусловно хоть какими гирями, не считая пятидесяти килограммовой. Так как Вася прогуливается первым, то он первым выложит и его самую заключительную, а у Пети, так как он прогуливается сходу после Васи, останется еще одна гиря, которую он заранее отложил, вес которой равен 50 кг. То есть после того, как Вася выложит свою заключительную гирю, то вес его гирь станет на 50 кг больше веса гирь Пети, и Петя выиграет.

Варианты победы Пети если ошибку допустит Вася

• Васе нельзя с самого начала ходить гирей от 1-го до 5 килограмм. Если он, к примеру, походит гирей в 3 кг, то Вася положит на свои весы гирю весом 53 кг, и его весы станут тяжелее васиных ровно на 50 кг.
• Васе нельзя ходить гирей весом от пятидесяти 1-го до пятидесяти 5 килограмм. Если вес гири, которую положит Вася, будет, допустим, 52 кг, то Петя выложит гирю массой 2 кг и выиграет, так как его чаша весов будет на 50 кг легче.
• Если Вася первым ходом походит гирей 50 кг, то его чаша станет на 50 кг тяжелее, и Петя выиграет, даже не сделав свой ход.