Средняя линия трапеции делит ее площадь в отношении 5:7. найдите отношение

Решение задачки:

1. Средняя линия в трапеции разделяет высоту пополам.

2. Площадь трапеции одинакова половине творения высоты на основание к которой она проведена - 0.5 * a * h

3. Соответственно если отношение площадей трапеции одинаково 5 / 7, то отношение нижнего основания к средней линии будет 5 /7.

4. Средняя линия трапеции - это полусумма оснований трапеции. Соответственно если нижнее основание - 5, средняя линия - 7, то верхнее основание трапеции будет одинаково - 9.

5. Значит: отношение оснований трапеции - 5/9.

Ответ: 5/9.

Для решения данной задачки воспользуемся следующими фактами:

• площадь трапеции одинакова творенью полусуммы оснований трапеции и вышины трапеции;
• средняя линия трапеции разделяет высоту трапеции напополам;
• средняя линия трапеции разделяет трапецию на две трапеции;
• длина средней полосы трапеции равна полусумме оснований трапеции.

Обозначим наименьшее основание трапеции через а, большее основание трапеции через b, вышину трапеции через h, а среднюю линию трапеции через m.

Найдем площадь наименьшей трапеции, интеллигентной при проведении средней линии

Наименьшее основание данной трапеции равно а, большее основание этой трапеции одинаково m, вышина этой трапеции равна h/2 следовательно, площадь S1 данной трапеции сочиняет:

S1 = (а + m)/2 * h/2.

Найдем площадь большей трапеции, образованной при проведении средней полосы

Наименьшее основание данной трапеции равно m, большее основание этой трапеции одинаково b, вышина этой трапеции равна h/2 как следует, площадь S2 данной трапеции сочиняет:

S2 = (m + b)/2 * h/2.

Найдем отношение площадей этих 2-ух трапеций

S1 / S2 = ((а + m)/2 * h/2) / ((m + b)/2 * h/2) = (а + m) / (m + b).

Подставляя в данное соотношение значение m = (а + b)/2, получаем:

(а + m) / (m + b) = (а + (а + b)/2) / ((а + b)/2 + b) = ((2а + а + b))/2 / ((а + b + 2b)/2) = (3а + b) / (а + 3b).

Разделим числитель и знаменатель приобретенного выражения на b:

(3а + b) / (а + 3b) = ((3а + b) / b) / ((а + 3b) / b) = (3(а/b) + 1) / (а/b + 3).

Как следует, 

S1 / S2 = (3(а/b) + 1) / (а/b + 3).

Найдем отношение оснований трапеции

Согласно условию задачки, средняя линия трапеции разделяет ее площадь в отношении 5:7, как следует, можем записать следующее соотношение: 

(3(а/b) + 1) / (а/b + 3) = 5/7.

Решая данное уравнение относительно а/b, получаем:

7 * (3(а/b) + 1) = 5 * (а/b + 3);

21(а/b) + 7 = 5(а/b) + 15;

21(а/b) - 5(а/b) = 15 - 7;

16(а/b) = 8;

а/b = 8 / 16;

а/b = 1/2.

Как следует, основания данной трапеции относятся как 1:2.

Ответ: основания данной трапеции относятся как 1:2.