Вычислить приближенно с помощью дифференциала. 1)310 2)158 3)х +3х+5 ,х=1,14

Приближенное значение при помощи дифференциала рассчитывается по формуле f(x₀ + x) = f(x₀) + f(x₀) * x, где (x₀ + x) - это значение числа с его приращением, x - приращение.

Вычисление значения при поддержки дифференциала

Для того, чтобы рассчитать приближенное значение, необходимо придерживаться последующего алгоритма:

1. Определить приращение значения (на сколько единиц наша функция отличается от дифференцируемого значения, то есть такового, из которого функция превосходно высчитывается);
2. найти производную функции;
3. найти производную от дифференцируемого значения;
4. подставить все данные в формулу и посчитать значение.

Найдем приращение функции

1) 310

Из 310 корень третьей ступени не высчитывается, а из 343 можно рассчитать корень третьей ступени (это 7). Возьмем за х₀ число 343.

х₀ = 343

x₀ + x = 310

x = 310 - 343 = - 33 (приращение одинаково -33)

f(x) = x

Найдем производную функции.

f(x) = 1/3 * (х)^{1/3 - 1} = 1/3 * х^-2/3 = 1/(3х^2/3) = 1/(3x²)

Найдем производную от 343.

f(x₀) = f(343) = 1/(3 * 49) = 1/147

Подставляем все в формулу и считаем.

f(x₀ + x) = f(343 - 33) = 343 + 1/147 * (- 33) = 7 - 33/147 =7 - 11/49 = 6 38/49

2) 158

Корень 4 ступени высчитывается из 81 (это 3). Возьмем за х₀ число 81.

х₀ = 81

x₀ + x = 158

x = 158 - 81 = 77

f(x) = 158

f(x) = 1/4 * x^{1/4 - 1} = 1/4 * x^-3/4 = 1/(4 x³)

f(81) = 1/(4 81³) = 1/(4 * 27) = 1/108

158 = 81 + 1/108 * 77 = 3 + 77/108 = 3 77/108

3) (х + 3х + 5) при х = 1,14

Если будем подставлять 1,14, вычисления усложняются и квадратный корень потом не вычисляется. Возьмем за х₀ число 1.

х₀ = 1

x₀ + x = 1,14

x = 1,14 - 1 = 0,14

f(x) = (х + 3х + 5) = (х + 3х + 5)^1/2 

f(x) = 1/2 * (х + 3х + 5)^1-1/2 * (х + 3х + 5)= (2x + 3)/2 * (х + 3х + 5)^-1/2 = (2x + 3)/(2(х + 3х + 5)^1/2) = 1/(2(х + 3х + 5))

f(1) = (2 + 3)/(2 * (1 + 3 + 5)) = 5/(2 * 9) = 5/6

f(1,14) = (1 + 3 * 1 + 5) + 5/6 * 0,14 = 9 + 70/600 = 3 + 7/60 = 3 7/60 

1) Воспользуемся формулой f(x) = f(x0) + (f(x0)) * x.

310 = 343 - 33 = 7^3 + 33.

(x^1/3) = 1/3 * (x)^(-2/3).

(310)^1/3 = 7 - 1/3 * (7)^(-2/3) * 33 = 7 - 11/49 6,8.

2) 158 = 128 + 30.

((x)^(1/4)) = 1/4 * x^(-3/4).

(158)^1/4 = 2^(3/2) + 1/4 * 2^ (9/8) * 30  3,5.

3) x = 1,14 = 1 + 0,14.

((x^2 + 3x + 5)) = 1/2 * (x^2 + 3x + 5)^(1/2) * (2x + 3).

 ((1,14)^2 + 3 * 1,14 + 5) = 9 + 1/2 * 9 * (2 * 0,14 + 3) = 3 + 1/6 * 3,28  4.