Решить уравнение (х^2+х)^2 +[х^2+х]-2=0

Решаем уравнение (х^2 + х)^2 + х^2 + х - 2 = 0.

Составим алгоритм решения уравнения

• введем подмену, обозначив за переменную t выражение с модулем;
• решим приобретенное полное квадратное уравнения;
• вернемся к замене и вспомним определения модуля;
• найдем корешки уравнения, решив полное квадратное уравнение.

Вводим подмену и решаем полное квадратное уравнение

Итак, давайте обозначим на переменную t = x^2 + x, тогда мы получим полное квадратное уравнение:

t^2 + t 2 = 0;

Решаем его с помощью нахождения дискриминанта.

D = b^2 4ac = 1^2 4 * 1 * (- 2) = 1 + 8 = 9;

Для нахождения корней нам пригодится значения D = 9 = 3^2 = 3.

Находим корешки используя формулы:

x1 = (- b + D)/2a = (- 1 + 3)/2 = 2/2 = 1;

x2 = (- b - D)/2a = (- 1 3)/2 = - 4/2 = - 2.

Возвращаемся к замене и находим корни уравнения

Теперь мы можем возвратятся к замене.

Получим два уравнения с модулем x^2 + x = 1 и x^2 + x = - 2.

Вспомним определение модуля.

Модулем (безусловной величиной) числа величается расстояние от начала координат до этой точки. Если число неотрицательное, то модуль его равен самому числу, если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу, то есть x = x, если х 0; - х , если х lt; 0.

Делаем вывод, что второе уравнение не имеет смысла, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Чтоб отыскать решения первого уравнения решим два уравнения:

x^2 + x = 1, если x^2 + x 0 и x^2 + x = - 1, если х lt; 0.

1) x^2 + x 1 = 0;

D = b^2 4ac = 1 4 * 1 * (- 1) = 1 + 4 = 5;

x1 = (- b + D)/2a = (- 1 + 5)/2;

x2 = (- b - D)/2a = (- 1 - 5)/2.

х принадлежит соединению интервалов (- бесконечность; - 1] и [0; + бесконечность).

Корешки удовлетворяют наложенным на их условиям.

2) x^2 + x + 1 = 0;

D = b^2 4ac = 1 4 = - 3 нет корней.

Ответ: х = (- 1 + 5)/2 и х = (- 1 - 5)/2.

Произведем подстановку х2 + х = t, получим:

t2 + t - 2 = 0.

D = 12 - 4 * 1 * (- 2) = 1 + 8 = 9;

D = 3;

t1 = (- 1 - 3) / (2 * 1) = - 4 / 2 = - 2;

t2 = (- 1 + 3) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1.

1) х2 + х = - 2;

х2 + х + 2 = 0;

D = 12 - 4 * 1 * 2 = 1 - 8 = - 7.

Дискриминант отрицательный, следовательно корней нет.

2) х2 + х = 1;

х2 + х - 1 = 0;

D = 12 - 4 * 1 * (- 1) = 1 + 4 = 5;

D = 5;

x1 = (- 1 - 5) / 2 - 1,618;

x2 = (- 1 + 5) / 2 0,618.