Решите уравнение 7^-x+3*7^1+xamp;gt;4

Показательное неравенство - это неравенство, где неведомая величина (переменная) находится в ступени какого-либо числа.

Решение показательного неравенства

1. Нужно поменять число в ступени иной переменной,
2. Решить получившееся уравнение,
3. Возвратиться к замене переменной и решить новое (либо несколько новых) уравнений.

Вероятные деяния с числами в ступени:

х^m+n = x^m * xⁿ

(x^m)ⁿ = (x^m)ⁿ

x^-n = 1/xⁿ

Нам дано показательное неравенство 7^-x + 3*7^1+x gt; 4

По формуле х^m+n = x^m * xⁿ разложим на два числа выражение 7^1+x :

7^1+x = 7¹ * 7^х = 7 * 7^x

 

По формуле x^-n = 1/xⁿ представим число 7^-x как 1/7^x .

Вышло неравенство

1/7^x + 3*7*7^x gt; 4

1/7^x + 21*7^x gt; 4

Произведем подмену

Пусть 7^х = р.

Вышло неравенство вида

1/р + 21р gt; 4

Перенесем 4 в левую часть и приведем левую часть к общему знаменателю р.

1/р + 21р - 4 gt; 0

(1 + 21р² - 4р)/р gt; 0

(21р² - 4р + 1)/р gt; 0

Дробь больше нуля тогда, когда и числитель и знаменатель имеют одинаковый символ.

Выходит две системы неравенств.

1) 1-ая система.

21р² - 4р + 1 gt; 0

р gt; 0

у = 21р² - 4р + 1 квадратичная функция, ветви ввысь.

y = 0, 21р² - 4р + 1 = 0

D = 16 - 84 = 68 (корней нет), нет точек скрещения графика функции с осью х, вся парабола лежит выше оси х.

Решением неравенства 21р² - 4р + 1 gt; 0 является просвет (-бесконечность; +бесконечность).

Решение системы 21р² - 4р + 1 gt; 0 и р gt; 0 является просвет (0; + бесконечность)

2) 2-ая система:

21р² - 4р + 1 lt; 0

р lt; 0

Решения первого неравенства нет - вся парабола выше оси х, отрицательных значений не может быть. 

Решения неравенства нет.

3) Возвращаемся к подмене 7^х = р.

Решение неравенства с подменой было р gt; 0, означает 7^х gt; 0.

Так как 7^х это всегда положительное число, то решение всего неравенства будет: х - хоть какое число.

7 ^ (- x) + 3 * 7 ^ (1 + x) gt; 4; 7 ^ (- x) + 3 * 7 ^ (1 + x) - 4 gt; 0; Правую и левую часть выражения умножаем на 7 ^ x, тогда получим: 1/7 ^ x + 3 * 7 ^ 1 * 7 ^ x - 4 gt; 0; 1/7 ^ x + 21 * 7 ^ x - 4 gt; 0; 1/7 ^ x * 7 ^ x + 21 * 7 ^ x * 7 ^ x - 4 * 7 ^ x gt; 0; 1 + 21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x gt; 0; 21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x + 1 gt; 0; 21 * (7 ^ x) ^ 2 - 4 * 7 ^ x + 1 = 0; Пусть, 7 ^ x = a, тогда: 21 * a ^ 2 - 4 * a + 1 = 0; D = b ^ 2 - 4 * a * c = (- 4) ^ 2 - 4 * 21 * 1 = 16 - 86 = - 70; Уравнение не имеет корней. Ответ: неравенство не имеет решений.