Укажите меньшее количество единиц записи числа 11...1,если знаменито что оно делится

Число 41 является обычным числом. Хорошо выучены признаки делимости на это число. В частности, знаменито, что 11111 кратно числу 41 . Это один из признаков делимости на 41 .

Задачка сформулирована так, что не трудно решить её методом перебора.
1 ) 11 число слишком малюсенько;
2 ) 111 не является кратным, делится на 41 с остатком. 111 = 2 * 41 + 29 ;
3 ) 1111 не является кратным, делится на 41 с остатком. 1111 = 27 * 41 + 4 ;
4 ) 11111 кратно числу 41 . Это меньшее из таких чисел. 11111 = 271 * 41 .

   Задачку можно решить несколькими методами.

  Вычисление остатка числа при разделеньи на 41

   Увеличим количество единиц в разыскиваемом числе x до тех пор, пока не получим число, кратное 41:

1. x = 1, не делится на 41;
2. x = 11, не делится на 41;
3. x = 111 = 2 * 41 + 29, не делится на 41;
4. x = 1111 = 27 * 41 + 4, не делится на 41;
5. x = 11111 = 271 * 41, делится на 41.

   Как следует, наименьшее количество единиц в числе x равно 5.

  Внедрение понятия сравнимости чисел

   Если разность чисел m и n делится без остатков на целое число k, то такие числа называются сопоставимыми по модулю k. Для сравнимости 2-ух чисел употребляется особое обозначение:

      m n (mod k). (1)

   Сопоставленье (1) читается так: число m сравнимо с числом n по модулю k.

   Если обе доли верного сопоставления (1) умножить на одно и то же целое число a либо строить в одну и ту же естественную ступень p, то получим верное сравнение:

      a * m a * n (mod k);

      m^p n^p (mod k).

   Исходя из этих понятий, будем искать такое значение p, при котором

      10^p 1 (mod 41). (2)

   Последовательно умножим обе доли сопоставлений на 10, пока не достигнем значения p, для которого правильно сравнение (2):

1. 10^1 10 (mod 41);
2. 10^2 10 * 10 100 100 - 2 * 41 18 (mod 41);
3. 10^3 10 * 18 180 180 - 4 * 41 16 (mod 41);
4. 10^4 10 * 16 160 160 - 3 * 41 37 (mod 41);
5. 10^5 10 * 37 370 370 - 9 * 41 1 (mod 41).

   Как следует, для значения p = 5 получили желанный результат:

      10^5 1 (mod 41).

   Что же это нам дает? Эта запись значит, что значение выражения 10^5 - 1 делится на 41. Вправду:

      10^5 - 1 = 100 000 - 1 = 99 999 = 9 * 11 111 = 9 * 41 * 271.

   Получили такой же результат, как и при предыдущем методе - меньшее количество единиц в разыскиваемом числе равно 5.

   Заметим, что в данном образце 1-ый способ решения задачки более легкий; но если вдруг количество единиц оказалось бы довольно великим числом, то 2-ой способ, непременно, стал бы более действенным.

   Ответ: 5 единиц.