Имеются два сосуда, в первом из их 1 л воды, 2-ой

Посчитав несколько первых переливаний в сосуд, мы узнаем, что после первого, третьего и 5-ого раза переливаний - в обоих сосудах будет по 1/2 л воды. Необходимо обосновать, что так будет после любого переливания, но с нечетным номером.

Если после переливания с нечетным номером (2k - 1) в сосудах было по 1/2 л, тогда при последующем переливании в сосуд из второго сосуда берется (1 / (2k + 1)) часть, и получается, что в первом сосуде оказывается (1/2 + (2 / 2 * (2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1)) л.

При последующем переливании под номером (2k + 1), из него берется (1 / (2k + 2)) часть и остается:

(k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 л.

Поэтому после хоть какого нечетного переливания в сосудах будет по 1/2 л воды.

Выполняем 1-ое переливание

• В первом сосуде 1 литр, второй пустопорожней.
• Переливаем половину (то есть 1/ литра) по 2-ой сосуд.
• После первого переливания в обоих сосудах по 1/2 литра воды.

II переливание - из второго сосуда надо отлить 1/3 воды в 1-ый. Высчитаем треть 1/2 литра.

1/2 : 3 = 1/6 литра

Отливаем из второго сосуда: 1/2 - 1/6 = 3/6 - 1/6 = 2/6 = 1/3 литра во втором сосуде.

Доливаем 1/6 литра в первый сосуд.

1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 литра в первом сосуде.

III переливание - нужно отлить от первого сосуда четверть.

Найдем четверть от 2/3 литра: 2/3 : 4 = 2/12 = 1/6 литра.

Отливаем из первого сосуда: 2/3 - 1/6 = 4/6 - 1/6 = 3/6 = 1/2 литра в первом сосуде.

Доливаем во второй: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 литра во втором сосуде.

IV переливание - отлить из второго сосуда 1/5 часть.

Найдем пятую часть от 1/2 литра: 1/2 : 5 = 1/10 литра.

Отливаем от второго: 1/2 - 1/10 = 4/10 = 2/5 литра во втором сосуде.

Доливаем в 1-ый: 1/2 + 1/10 = 6/10 = 3/5 литра в первом сосуде.

V переливание - отлить 1/6 часть из первого сосуда.

Найдем 1/6 часть от 3/5 литра: 3/5 : 6 = 3/30 = 1/10 литра.

Отливаем от первого: 3/5 - 1/10 = 5/10 = 1/2 литра в первом сосуде.

Доливаем во 2-ой: 2/5 + 1/10 = 5/10  = 1/2 литра.

Найдем закономерность

Если пристально поглядеть на остаток воды после I, II, III, IV и V переливания, можно увидеть, что после нечетного переливания в обоих сосудах остается по 1/2 литра воды.

2007 - это нечетное число, то есть после 2007-го переливания в сосудах будет по 1/2 литра воды.