Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии если b6=25 , b8=9.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * qn - 1,
где b1 - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии.

Сообразно условию задачки, в данной геометрической прогрессии b6 = 25, b8 = 9, следовательно, можем записать последующие соотношения:

25 = b1 * q6 - 1;

9 = b1 * q8 - 1.

Решаем полученную систему уравнений.

Разделив 2-ое уравнение на первое, получаем:

b1 * q7 / (b1 * q5) = 9/25:

q = 9/25;

q1 = -3/5;

q2 = 3/5.

Обретаем b1.

При q = -3/5:

b1 = 25 / q5 = 25 / ((-3/5)5) = 25 / (-27/3125) = -25 * 3125 / 27 = -78125/27.

При q = 3/5:

b1 = 25 / q5 = 25 / ((3/5)5) = 25 / (27/3125) = 25 * 3125 / 27 = 78125/27.

Используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - q) / (1 - q) при n = 6, обретаем сумму первых 6 членов данной геометрической прогрессии:

При q = -3/5:

S6 = (-78125/27) * (1 - (-3/5)6) / (1 - (-3/5)) = (-78125/27) * (1 - (3/5)6) / (1 + 3/5) = (-78125/27) * (1 - (3/5)6) / (8/5) = (-78125/27) * (1 - 729/15625) * (5/8) = (-78125/27) * (1 - 729/15625) * (5/8) = (-78125/27) * (14896/15625) * (5/8) = (-5/27) * 14896 * (5/8) = (-5/27) * 1862 * 5 = -46550/27.

При q = 3/5:

S6 = (78125/27) * (1 - (3/5)6) / (1 - 3/5) = (78125/27) * (1 - (3/5)6) / (2/5) = (-78125/27) * (1 - 729/15625) * (5/2) = (78125/27) * (14896/15625) * (5/2) = (5/27) * 14896 * (5/2) = (5/27) * 7448 * 5 = 186200/27.

Ответ: сумма первых 6 членов данной геометрической прогрессии может принимать два значения -46550/27 и 186200/27.