Известно, что в геометрической прогрессии b1=512, bn=1, Sn=1023. Найдите n и

Сообразно условию задачи, в данной геометрической прогрессии 1-ый член b1 = 512, n-й член  bn = 1, в а сумма n первых членов Sn=1023.

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * q^{n - 1}, а также формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - q) / (1 - q), где q - знаменатель геометрической прогрессии, получаем последующие соотношения:

512 * q^{n - 1} = 1;

512 * (1 - q) / (1 - q) = 1023.

Домножая обе доли первого уравнения на q, получаем:

512 * q^{n - 1} * q =  1 * q;

512 * q^{n - 1 + 1} =  q;

512 * qⁿ =  q;

qⁿ =  q/512.

Подставляя отысканное значение qⁿ в соотношение 512 * (1 - q) / (1 - q) = 1023, получаем:

512 * (1 - q/512) / (1 - q) = 1023;

512 * (512/512 - q/512) / (1 - q) = 1023;

(512 * (512 - q)/512) / (1 - q) = 1023;

(512 - q) / (1 - q) = 1023;

512 - q = 1023 * (1 - q);

512 - q = 1023  - 1023 * q;

1023 * q  - q = 1023 - 512;

1022 * q = 511;

q = 511 / 1022;

q = 1/2.

Зная q, обретаем n.

Подставляя отысканное значение q = 1/2 в соотношение qⁿ =  q/512, получаем:

(1/2)ⁿ =  (1/2)/512;

(1/2)ⁿ =  1/1024;

(1/2)ⁿ =  (1/2)¹⁰;

n = 10.

Ответ: n = 10, q = 1/2.