Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии bn с положительными членами

Согласно условию задачки, дана геометрическая прогрессия bn, в которой 2-ой член b2 = 1.2, а 4-ый член b4 = 4.8.

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * qn - 1, где b1 - 1-ый член геометрической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии, можем записать последующие соотношения:

b1 * q2 - 1 = 1.2;

b1 * q4 - 1 = 4.8.

Решаем полученную систему уравнений.

Разделив 2-ое уравнение на 1-ое, получаем:

b1 * q3 / (b1 * q)= 4.8 /1.2;

q = 4;

q = 2.

Сообразно условию задачи, данная геометрической прогрессии имеет положительные члены, как следует, q = 2.

Подставляя отысканное значение q в соотношение b1 * q = 1.2, получаем;

b1 * 2 = 1.2;

b1 = 1.2 / 2;

b1 = 0.6.

Используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - q) / (1 - q) при n = 8, обретаем сумму восьми первых членов данной геометрической прогрессии:

S8 = 0.6 * (1 - 28) / (1 - 2) = 0.6 * (1 - 256) / (-1) = 0.6 * 255 = 153.

Ответ: сумма восьми первых членов данной геометрической прогрессии одинакова 153.

Согласно условию задачки, нужно отыскать сумму восьми первых членов геометрической прогрессии, в которой 2-ой член равен 1.2, а четвертый член равен 4.8.

Данную задачу можно решать 2-мя методами

1. Отыскать восемь первых членов данной геометрической прогрессии и сложив их, отыскать их сумму.
2. Отыскать 1-ый член b1 и знаменатель q данной геометрической прогрессии, а потом пользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - q) / (1 - q).

Воспользуемся вторым методом решения как более прытким и разумным.

Составим план решения данной задачи

• Сочиняем систему уравнений для нахождения первого члена b1 и знаменателя q данной геометрической прогрессии.
• Решаем полученную систему уравнений и находим b1 и q.
• Подставляя найденные значения b1 и q, а также значение n = 8 в формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, находим разыскиваемую сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

Решение задачки

Сочиняем систему уравнений

Согласно условию задачки, в данной прогрессии b2 = 1.2 и b4 = 4.8.

Подставляя в формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * q^{n - 1} значения n = 2 и n = 4, получаем последующие соотношения:

b1 * q^{2 - 1} = 1.2;

b1 * q^{4 - 1} = 4.8.

Решаем полученную систему уравнений

Разделив 2-ое уравнение на 1-ое, получаем: 

b1 * q^{4 - 1} / (b1 * q^{2 - 1} ) = 4.8 / 1.2;

b1 * q³ / (b1 * q¹ ) = 4;

q³ / q = 4;

q² = 2².

Приобретенное уравнение имеет два корня: q = -2 и q = 2.

Зная q, находим b1.

Обретаем b1 при q = -2.

Подставляя данное значение q = -2 в соотношение b1 * q = 1.2, получаем:

b1 * (-2) = 1.2;

b1 = 1.2 / (-2);

b1 = -0.6.

Согласно условию задачки, все члены последовательности bn положительны, как следует, значение  q = -2  не подходит.

Обретаем b1 при q = 2.

Подставляя данное значение q = 2 в соотношение b1 * q = 1.2, получаем:

b1 * 2 = 1.2;

b1 = 1.2 / 2;

b1 = 0.6.

Таким образом, мы отыскали 1-ый член b1 и знаменатель q данной прогрессии, а конкретно:

b1 = 0.6;

q = 2.

Находим сумму восьми первых членов  данной геометрической прогрессии

Подставляя найденные значения b1 = 0.6  и q = 2, а также значение n = 8 в формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - q) / (1 - q), получаем:

S8 = 0.6 * (1 - 2⁸) / (1 - 2) = 0.6 * (1 - 256) / (-1) = 0.6 * (- 255) / (-1) = 0.6 * 255 = 153.

Ответ: сумма восьми первых членов геометрической прогрессии одинакова 153.