((x+1)(x+2)(x+3)/(x-1)(x-2)(x-3))amp;lt;1

Решим неравенство:

((x + 1) (x + 2) (x + 3)) / ((x - 1) (x - 2) (x - 3)) lt; 1.

Перенесем 1 в левую часть:

((x + 1) (x + 2) (x + 3)) / ((x - 1) (x - 2) (x - 3))  - 1 lt; 0.

Упростим левую часть:

Приведем к общему знаменателю: (x - 1) (x - 2) (x - 3):

((x + 1) (x + 2) (x + 3) - (x - 1) (x - 2) (x - 3)) / (x - 1) (x - 2) (x - 3).

Упростим числитель: раскроем скобки:

(x + 1) (x + 2) (x + 3) - (x - 1) (x - 2) (x - 3) = (х² + 3х + 2) (х + 3) (х² 3х + 2) (х 3) = (х³ + 3х² + 2х + 3х² + 9х + 6) (х³ 3х² + 2х 3х² + 9х 6) = х³ + 6х² + 11х  + 6 - х³ + 6х² 11х + 6 = 12х² + 12 = 12 (х² + 1).

Получим неравенство:

12 (х² + 1) / (x - 1) (x - 2) (x - 3) lt; 0.

Найдем корни уравнения:

12 (х² + 1) / (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0.

12 (х² + 1) = 0,

х² + 1 = 0,

х² = -1,

корней нет.

Дробь не существует при: (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0, т.е. при х = 1, х = 2, х = 3.

Рассмотрим промежутки:

х lt; 1: 12 (х² + 1) / (x - 1) (x - 2) (x - 3) lt; 0.

1 lt; x lt; 2: 12 (х² + 1) / (x - 1) (x - 2) (x - 3) gt; 0.

2 lt; x lt; 3: 12 (х² + 1) / (x - 1) (x - 2) (x - 3) lt; 0.

x gt; 3: 12 (х² + 1) / (x - 1) (x - 2) (x - 3) gt; 0.

Решение неравенства: х принадлежит (-; 1) и (2; 3).

Ответ: (-; 1) и (2; 3).