Обоснуйте что квадрат целого числа при разделении на 5 не дает

Хоть какое целое число, записанное в десятичной системе счисления заканчивается на одну из следующих цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Квадрат числа будет заканчиваться на ту же цифру, что и квадрат его заключительней цифры. Запишем квадраты подходящих цифр, чтоб перечислить все вероятные последние числа квадратов целых чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Таким образом, квадрат хоть какого целого числа кончается на

0, 1, 4, 9, 6, 5.

Кратность числа 5 зависит от заключительней цифры числа. Число будет давать в остатке 3 при разделеньи на 5, если заключительная цифра числа 3 или 8. Этих цифр нет посреди возможных последних цифр квадратов целых чисел, потому квадраты целых чисел не дают в остатке 3.