Обоснуйте, что если естественные числа m и n обоюдно обыкновенные, то

   1. Предположим, числа a = m + n и b = m^2 + n^2 имеют общий делитель p:

• m + n 0 (mod p); (1)
• m^2 + n^2 = 0 (mod p). (2)

   2. Возведем в квадрат сопоставление (1):

• (m + n)^2 0 (mod p);
• m^2 + 2mn + n^2 0 (mod p);
• 2mn 0 (mod p).

   3. Так как m и n обоюдно обыкновенные, то одно из чисел m и n делится на p, если p обычное число больше 2:

• m 0 (mod p) или
• n 0 (mod p).

   Из сопоставленья (1) следует, что для второго числа также правильно это сопоставленье, но тогда числа m и n не будут обоюдно ординарными.

   4. Остается инспектировать для значения p = 4. Из сопоставления 2mn 0 (mod 4) получим, что одно из чисел четное, означает, второе также обязано быть четным.

   Таким образом, числа a и b не имеют общий обычной множитель больше 2, и не имеют общий множитель 4, как следует:

      НОД(a, b) = 1 либо НОД(a, b) = 2.

   Утверждение подтверждено.