1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/2010*2011 Найдите сумму

1 / (1 * 2) + 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) + ... + 1 / (2010 * 2011)

1. Представим 1-ое слагаемое как 1 - 1 / (1 * 2).

1 - 1 / (1 * 2) + 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) + ... + 1 / (2010 * 2011)

2. Произведем суммирование - 1 / (1 * 2) + 1 / (2 * 3). Для этого приведем оба слагаемых к общему знаменателю:

- 1 / (1 * 2) + 1 / (2 * 3) =

= - 1 * 3 / (1 * 2 * 3) + 1 / (2 * 3) =

= (- 3 + 1) / (2 * 3) =

= (- 2) / (2 * 3) =

= - 1 / 3

3. Подставим приобретенное выражение в первый пункт:

1 - 1 / 3 + 1 / (3 * 4) + ... + 1 / (2010 * 2011)

4. Произведем суммирование - 1 / 3 + 1 / (3 * 4). Для этого приведем оба слагаемых к общему знаменателю:

- 1 / 3 + 1 / (3 * 4) =

= - 1 * 4 / (3 * 4) + 1 / (3 * 4) =

= (- 4 + 1) / (3 * 4) =

= - 3 / (3 * 4) =

= - 1 / 4

5. Подставим приобретенное выражение в 3-ий пункт:

1 - 1 / 4 + ... + 1 / (2010 * 2011)

6. Как видно из пт (2 - 4) следующее суммирование является инвариантным и будет вычисляться аналогично, как следует, после суммирования всех дробей остается дробь:

- 1 / 2011

7. Тогда вся последовательность равна:

1 / (1 * 2) + 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) + ... + 1 / (2010 * 2011) =

= 1 - 1 / 2011 =

= 2010 / 2011

Ответ: 2010 / 2011