Исследовать на локальный экстремум функцию: z=x^3 + y^3 - 3xy

Для того чтоб отыскать точки перегиба данной функции найдем 1-ые производные от данной функции по х и по y:

Z / x = Zx = (x^3 + y^3 - 3xy)= 3x^2 - 3y;

Z / y = Zy = (x^3 + y^3 - 3xy) = 3y^2 - 3x;

Решим систему из 2-ух уравнений:

3x^2 - 3y = 0;

3y^2 - 3x = 0;

x^2 - y = 0;

y^2 - x = 0;



x^2 = y;

y^2 = x;



x^4 = x;

x(x^3 - 1) = 0;

x^3 = 1; x1 = 0;

x2 = 1^(1 / 3) = 1, подставим в первое уравнение системы:

y1 = x^2 = (1)^2 = 1; y2 = 0;

Точки перегиба (1 ; 1) и (0; 0);

z1 = 1^3 + 1^3 - 3 * 1 * 1 = 1 + 1 - 3 = - 1;

z2 = 0;

Ответ: (1; 1; - 1) и (0; 0; 0).