Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O . Точка P такая,

Решение задачки ;

Заметим, что отрезки DP и BC параллельны и одинаковы ;

Поэтому BOPC параллелограмм, откуда QC = OC / 2 = PD / 2 ;

Таким образом, отрезок QC с концами на гранях RD и RP треугольника DRP параллелен стороне DP этого треугольника и равен её половине ;

Означает, он является средней чертой этого треугольника ;

Следовательно, C середина отрезка RP , что и требовалось обосновать.

Точка p вне параллелограмма abcd выбрана так, что сторона cd диагональ нового параллелограмма docp. Точка q лежит на скрещении bp и ac, а точка r лежит на скрещении dp и cp. Докажите, что pc = cr.

Сделайте построения

Сделайте построения, отталкиваясь от условия. Сравните построения с рисунком по ссылке http://bit.ly/2z1j7Ut.

Если cd диагональ нового параллелограмма, то из рисунка видно, что на нее опираются две стороны это половинки диагоналей do и oc. Проведите через точки c и d прямые, параллельные do и oc. На скрещении отметьте точку p. Соедините точку b c точкой p. На скрещении bp с диагональю ac отметьте точку q. Начертите прямые, чтобы они проходили через точки d и q, а также через c и p так, чтоб они пересекались. На скрещении отметьте точку r.

В условии не указано, но соедините отрезком точки о и p.

Проанализируйте рисунок

Обратите внимание на четырехугольник obpc.

Из построений следует:

• cp od,
• cpbd,
• сp = od =ob.

Выходит, что op построена на концах равных и параллельных отрезков. Четырехугольник obpc, имеющий две равные и параллельные стороны параллелограмм.  Точка q находится на скрещении диагоналей dp и oc. Тогда cq = co/2 = dp/2.

qrc  сходственен drp. У треугольников угол r общий, а стороны обратные углу r параллельны: qc dp. Углы, прилегающие к qc и dp одинаковы, как соответственные и однобокие.

Для сходственных qrc  и drp правосудно отношение: cq / dp = rc / rp. Подставьте заместо cq выражение dp/2:

(dp / 2) / dp = rc / rp;

rc = rp / 2;

cp = rp - rc = rp - rp / 2 = rp/2;

cp = rc.

Равенство отрезков rc и сp доказано.