Знаменито что x^2+xy+y^2=x+y. Какое наибольшее значение может принимать выражение x^2+y^2

   1. Обозначим:

• x + y = p;
• xy = q.

   2. Тогда начальное равенство запишется в виде:

• x^2 + xy + y^2 = x + y;
• (x + y)^2 - xy = x + y;
• p^2 - q = p, отсюда:
• q = p^2 - p.

   При этом для Q = x^2 + y^2 получим:

      Q(p) = (x + y)^2 - 2xy = p^2 - 2q = p^2 - 2(p^2 - p) = 2p - p^2 = -(p^2 - 2p + 1) + 1 = -(p - 1)^2 + 1.

   3. Квадратичная функция Q(p) достигает своего наибольшего значения при p = 1:

      Q(max) = Q(1) = -(1 - 1)^2 + 1 = 1.

   4. Покажем, что существует такие числа x и y, для которых Q = 1:

• p = 1;
  q = 1^2 - 1 = 0;
• x + y = 1;
  xy = 0;

• [x = 0; y = 1;
• [x = 1; y = 0.

   Ответ: 1.