Производная функции f(x)=cos(x/2) в некой точке x0 равна 0,25. Найдите f(x0).

Решение:

Найдём производную функции: f(x) = cos (x / 2)

Воспользовавшись формулами:

1) (cos x) = - sin x (производная главный простой функции)

2) (с*u) = с*u, где с const (главное верховодило дифференцирования)

3) y = f(g(x)), y = f_u(u) * g_x(x), где u = g(x) (главное правило дифференцирования)

И так, найдем производную:

f(x) = (cos (x / 2)) =  (x / 2) * (cos (x / 2)) = 1 / 2 (-sin (x / 2)) = - 1 / 2 sin (x / 2)

В некоторой точке x₀ f(x₀) = 0,25, найдем x₀

0,25 = - 1 / 2  sin (x / 2)

sin (x / 2) = 0,25 * 2

sin (x / 2) = 0,5 = 1 / 2

х / 2 = 2n + arcsin (1 / 2) = 2n + / 6, где n - любое целое число

х / 2 = 2n - arcsin (1 / 2) + = 2n + 5 / 6, где n - любое целое число

Умножим обе доли полученных уравнений на 2:

х₁ = 4n + / 3

х₂ = 4n + 5 / 3

Найдем f(x₀):

f(x₁) = cos (( / 3) / 2) = cos ( / 6) = (3) / 2

f(x₂) = cos ((5 / 3) / 2) = cos (5 / 6) = - (3) / 2

Ответ: f(x₁) = (3) / 2; f(x₂) = - (3) / 2.