Как разложить на сумму простых дробей х\х^3-1

Разложим дробь x/(x^3 - 1) на сумму обычных дробей. 

x/(x^3 - 1) = x/(x^3 - 1^3) = x/((x - 1) * (x^2 + x * 1 + 1^2)) = x/((x - 1) * (x^2 + x + 1); 

Используем способ разложения на простые:

А/(x - 1) + (В * х + С)/(x^2 + x  + 1); 

(A(x^2 + x + 1) + (B * x + C) * (x - 1))/((x - 1) * (x^2 + x + 1)); 

x = A(x^2 + x + 1) + (B * x + C) * (x - 1); 

x^2: A + B = 0; 

x: A - B + C = 0; 

1: A - C = 0; 

Отсюда получаем: 

А = 1/3; 

B = -1/3; 

C = 1/3; 

Означает, x/(x^3 - 1) = (1/3)/(x - 1) + (-1/3 * x + 1/3)/(x^2 + x + 1).