Отыскать величайшее и наименьшее значение функции на даном промижутке: f(x)=x^3-6x^2+9x [-4;0]

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x, на промежутке [-4; 0].

Поначалу необходимо отыскать точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции одинакова нулю либо не существует.

Найдем производную функции.

f(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 12x + 9.

Точки экстремума

f = 0:

3x^2 12x + 9= 0,

3 (x^2 4x + 3) = 0,

3 (х 3) (х 1) = 0,

x = 1,

x = 3.

Получим: х = 1 и x = 3 точки экстремума функции.

При х lt; 1, f gt; 0, функция вырастает.

При 1 lt; х lt; 3, f lt; 0, функция убывает.

При х gt; 3, f gt; 0, функция подрастает.

Наивеличайшее и меньшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, или на концах отрезка.

Точки х = 1 и x = 3 не принадлежат интервалу [-4; 0], потому рассмотрим только значения функции на концах интервала.

При х = -4, f (x) = (-4)^3 6 * (-4)^2 + 9 * (-4) = -64 96 36 = -196.

При х = 0, f (x) = 0^3 6 * 0^2 + 9 * 0 = 0.

Таким образом, fнаим = f (-4) = -196, fнаиб = f (0) = 0.

Ответ: fнаим = -196, fнаиб = 0.