Найдите корешки уравнения: (х+2/x-4)+16(x-4/x+2)=17 (x+1/x-3)+18(x-3/x+1)=11

1) Разложим х - 4 по формуле разности квадратов:

((х + 2)/(x - 2)(х + 2)) + 16((x - 2)(х + 2)/(x + 2)) = 17.

Скобки (х + 2) можно уменьшить.

(1/(x - 2)) + 16(x - 2) = 17.

Введем новейшую переменную, пусть (x - 2) = а.

Выходит уравнение 1/а + 16а - 17 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(1 + 16а - 17а)/а = 0.

ОДЗ: а не одинаково 0.

16а - 17а + 1 = 0.

D = 289 - 64 = 225 (D = 15).

а₁ = (17 - 15)/32 = 2/32 = 1/16.

а₂ = (17 + 15)/32 = 1.

Вернемся к подмене (x - 2) = а.

а) а = 1/16;

(x - 2) - 1/16 = 0. Разложим по формуле разности квадратов:

(х - 2 - 1/4)(х - 2 + 1/4) = 0.

х - 2,25 = 0; х = 2,25.

Либо х - 1,75 = 0; х = 1,75.

б) а = 1;

(x - 2) - 1 = 0;

(х - 2 - 1)(х - 2 + 1) = 0.

х - 3 = 0; х = 3.

Или х - 1 = 0; х = 1.

Ответ: корешки уравнения 1, 3, 1,75 и 2,25.

2) ((x + 1)/(x - 3)) + 18((x - 3)/(х + 1)) = 11.

ОДЗ: х не одинаково 3 и х не одинаково -1.

Введем новейшую переменную, пусть ((x + 1)/(x - 3)) = а.

Выходит уравнение а + 18/а - 11 = 0.

(а - 11а + 18)/а = 0.

ОДЗ: а не одинаково 0.

а - 11а + 18 = 0.

D = 121 - 72 = 49 (D = 7).

а₁ = (11 - 7)/2 = 2;

а₂ = (11 + 7)/2 = 9.

Вернемся к замене.

а) а = 2.

((x + 1)/(x - 3)) = 2.

((x + 1)/(x - 3)) - (2) = 0.

((x + 1)/(x - 3) - 2)((x + 1)/(x - 3) + 2) = 0.

Отсюда (x + 1)/(x - 3) - 2 = 0;

(х + 1 - 2х + 32)/(х - 3) = 0;

х + 1 - 2х + 32 = 0;

х - 2х = -(32 + 1);

х(1 - 2) = -(32 + 1);

х =  -(32 + 1)/-(2 - 1) = (32 + 1)/(2 - 1) = (32 + 1)(2 + 1)/(2 - 1)(2 + 1) = (6 + 2 + 32 + 1)/(2 - 1) = 7 + 42.

Или (x + 1)/(x - 3) + 2 = 0;

(х + 1 + 2х - 32)/(х - 3) = 0;

х + 2х = 32 - 1;

х(1 + 2) = 32 - 1;

х = (32 - 1)/(1 + 2) = (32 - 1)(1 - 2)/(1 + 2)(1 - 2) = (32 - 1 - 6 + 2)/(1 - 2) = (42 - 7)/(-1) = 7 - 42.

б) а = 9.

((x + 1)/(x - 3)) - 9 = 0.

((x + 1)/(x - 3) - 3)((x + 1)/(x - 3) + 3) = 0.

Отсюда (x + 1)/(x - 3) - 3 = 0;

(х + 1 - 3х + 9)/(х - 3) = 0;

-2х + 10 = 0;

-2х = -10; х = 5.

Или (x + 1)/(x - 3) + 3 = 0.

(х + 1 + 3х - 9)/(х - 3) = 0;

4х - 8 = 0;

4х = 8;

х = 2.

Ответ: корешки уравнения одинаковы 2, 5, 7 - 42 и 7 + 42.