Отыскать область значения функции y=sin^8 [x]+cos^8 [x]

   1. Преобразуем функцию:

      y = sin^8(x) + cos^8(x);

      y = (sin^4(x) + cos^4(x))^2 - 2sin^4(x) * cos^4(x);

      y = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x) * cos^2(x)^2 - 2sin^4(x) * cos^4(x);

      y = 1 - 1/2 * (2sin(x)cos(x))^2 ^2 - 1/8 * (2sin(x)cos(x))^4;

      y = (1 - 1/2 * sin^2(2x))^2 - 1/8 * sin^4(2x). (1)

   2. Обозначим:

      z = 1/4 * sin^2(2x);

      1/2 * sin^2(2x) = 2z;

      z^2 = 1/16 * sin^4(2x);

      1/8 * sin^4(2x) = 2z^2.

   3. Область значений sin^2(2x):

      [0; 1],

следовательно, область значений z:

      [0; 1/4].

   4. Подставим значение sin^2(2x) в уравнении (1):

      y = (1 - 2z)^2 - 2z^2.

      y = 1 - 4z + 4z^2 - 2z^2;

      y = 2z^2 - 4z + 1.

   5. Точки экстремума:

      y = 4z - 4 = 0;

      z = 1, точка минимума.

   6. Функция y(z) убывает на промежутке:

      [0; 1/4];

      y(min) = y(1/4) = 2 * 1/16 - 4 * 1/4 + 1 = 1/8 - 1 + 1 = 1/8;

      y(max) = y(0) = 1.

   7. Область значений y:

      [1/8; 1].

   Ответ: [1/8; 1].