При каких естественных n выражение n12-n8-n4+1 делится нацело на 128 .

   1. Разложим выражение на множители:

• f(n) = n^12 - n^8 - n^4 + 1;
• f(n) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1);
• f(n) = (n^4 - 1) * (n^8 - 1);
• f(n) = (n^4 - 1) * (n^4 - 1)(n^4 + 1);
• f(n) = (n^4 - 1)^2 * (n^4 + 1);
• f(n) = ((n^2 - 1)(n^2 + 1))^2 * (n^4 + 1);
• f(n) = ((n - 1)(n + 1))^2 * (n^2 + 1))^2 * (n^4 + 1).

   2. При четных значениях n выражение f(n) будет нечетным и на 128 не может делиться.

   3. При нечетных значениях n одно из четных чисел n - 1 и n + 1 содержит желая бы две двойки, а их творенье - хотя бы 3 двойки:

      n^2 - 1 0 (mod 2^3).

   Дальше получим:

• n^2 + 1 0 (mod 2^1);
• n^4 - 1 0 (mod 2^4);
• (n^4 - 1)^2 0 (mod 2^8);
• n^4 + 1 0 (mod 2^1);
• (n^4 - 1)^2 * (n^4 + 1) 0 (mod 2^9);
• f(n) 0 (mod 2^9).

   Следовательно, при нечетных значениях n выражение f(n) делится не только на 128, но и на 2^9 = 512. К примеру:

      f(3) = 3^12 - 3^8 - 3^4 + 1 = 531441 - 6561 - 81 + 1 = 524800 = 512 * 1025.

   Ответ: при нечетных значениях n.