При каком значении b система уравнений xy=1 x+y=b имеет ровно два

xy = 1,

x^2 + y^2 = b.

Выразим из первого уравнения у:

у = 1/х.

Подставим приобретенное выражение во 2-ое уравнение:

x^2 + (1/х)^2 = b.

Перенесем все в левую часть:

x^2 + (1/х)^2  b = 0,

x^2 + 1/(х^2)  b = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(х^4 + 1 bх^2) / (х^2) = 0,

(х^4  bх^2 + 1) / (х^2) = 0.

В числителе биквадратное уравнение, чтобы оно имело 2 корня, нужно, чтобы подходящее ему квадратное уравнение имело 1 корень, т.е. уравнение:

t^2  bt + 1 = 0 имело 1 корень.

D = b^2  4.

D = 0:

b^2  4 = 0,

b = -2,

b = 2.

Значение b является неотрицательным, т.к. x^2 + y^2 = b.

Ответ: при b = 2 система уравнений имеет ровно 2 решения.