1)Существует ли такое естественное число N, что сумма цифр числа 2N

1) Число делится на 12, если делится на 4 и 3.На 4 делится число, если число из 2-ух заключительных чисел делится на 4.на 3 делится число, если сумма цифр числа делится на3.

Напишем такие числа для двузначных чисел.24 *2 = 48. 4 + 8 = 12, делится на 12. Число 42 * 2 = 84: 8 + 4 = 12.

Ответ: пока два числа 24 и 42.

2) 10 ^ 2013 + 8 делится на 9 , так как на 9 делится то число, сумма цифр которого делится на 9.

10 ^ 2013 представляет собой число 100000.......00000, прибавив 8 , получим число 100000....00008.Сумма цифр этого числа одинакова 8 + 1 + 9, значит, и число делится на 9.

3) 2013^2015 + 2015^2017 

2-ое слагаемое заканчивается на 5, как число 5 в хоть какой ступени .

А число 2013^2015 заканчивается так же как и 3 в нечётной ступени: 3 ^ 1 = 3 , 3 ^ 3 = 27.

Рассчитав что 2015 = 503 * 4 + 3 считаем, что 3 ^ 1 = 3, 3 ^ 2 = 9 , 3 ^ 3 = 27 , то есть  2013^2015 заканчивается на 7.

А 7 + 5 = 12, и сумма ступеней оканчивается на цифру 2.