Вычислите а^3+а^-3, если а^1+а^-1=5

1. Представим отрицательную степень числа в виде дроби.

а³ + а^-3 = а³ + 1/а³ = ?

а¹ + а^-1 = 5

а + 1/а = 5

2. Возведем обе доли уравнения в 3 ступень.

(а + 1/а)³ = 5³

3. Раскроем скобки по формуле куба суммы.

а³ + 3 * а² * 1/а + 3 * а * 1/а² + 1/а³ = 5³

а³ + 3а + 3/а + 1/а³ = 125

а³ + + 1/а³ + 3а + 3/а = 125

4. Из третьего и 4-ого слагаемых вынесем 3.

а³ + + 1/а³ + 3(а + 1/а) = 125

5. Зная, что а + 1/а = 5, выходит

а³ + + 1/а³ + 3 * 5 = 125

а³ + + 1/а³ + 15 = 125

а³ + + 1/а³ = 125 - 15

а³ + + 1/а³ = 110

Ответ: а³ + а^-3 = 110