1. В треугольник со гранями 13 см, 14 см и 15

1) Вычислим площадь треугольника по формуле Герона:

S = (p * (p a)(p b)(p c)), где р полупериметр треугольника, a, b и c стороны.

p = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21 (см).

S = (21(21 13)(21 14)(21 15)) = (21 * 8 * 7 * 6) = (3 * 7 * 2 * 2 * 2 * 7 * 2 * 3) = 2 * 2 * 3 * 7 = 84 (см).

Формула нахождения площади через радиус вписанной окружности: S = p * r, отсюда r = S/p = 84/21 = 4 (см).

Радиус вписанной окружности будет равен вышине каждого из 3-х полученных треугольников (радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне треугольника).

S1 = 1/2 * 4 * 13 = 26 (см).

S2 = 1/2 * 4 * 14 = 28 (см).

S3 = 1/2 * 4 * 15 = 30 (см).

2) Вычислим острый угол ромба: 180 - 135 = 45 (ромб является параллелограммом, сумма примыкающих углов одинакова 180).

Площадь параллелограмма одинакова S = a * b * sina (a и b стороны параллелограмма, a - угол меж ними).

Отсюда S = 72 * 72 * sin45 = 49 * 2 * 2/2 = 492 (см).

3) Пусть один угол равен х, тогда 2-ой равен 2х. Так как ромб является параллелограммом, то сумма соседних углов одинакова 180.

х + 2х = 180; 3х = 180; х = 60.

Площадь параллелограмма одинакова S = a * b * sina (a и b стороны параллелограмма, a - угол между ними).

Отсюда S = 6 * 6 * sin60 = 36 * 3/2 = 183 (см).

4) Площадь параллелограмма одинакова S = a * b * sina (a и b стороны параллелограмма, a - угол меж ними). Наибольшее значение, которое может принимать синус, одинаково 1.

Поэтому максимальная площадь параллелограмма одинакова S = 7 * 9 * 1 = 63 (см).

Ответ: не может.

5) Площадь параллелограмма (через диагонали) одинакова S = 1/2 * d₁ * d₂ * sina (d₁ и d₂ диагонали, a - острый угол между ними).

Прямоугольник является параллелограммом с равными диагоналями.

S = 1/2 * d * sina = 363.

d * sin60 = 723.

d * 3/2 = 723.

d = 144.

d = 12см.

Две стороны прямоугольника и диагональ образуют прямоугольный треугольник, один из углов которого равен 60. Означает, одна сторона треугольника одинакова 12 * sin60 = 12 * 3/2 = 63 (cм). А 2-ая сторона равна 12 * cos60 = 12 * 1/2 = 6 (см).

6) Пусть сторона треугольника одинакова а.

Площадь шестиугольника AKDFNC равна сумме площадей треугольника АВС, квадрата ABDK, квадрата CDFN и треугольника BDF.

Площадь равностороннего треугольника АВС равна (3/4 * а) = a3/4 .

Площадь квадрата ABDK равна а.

Площадь квадрата CDFN одинакова а.

Найдем площадь треугольника BDF: угол FBD равен 360 - (90 + 90 + 60) = 120. Сторона BD = BF = а.

Площадь треугольника одинакова половине творения 2-ух сторон на синус угла меж ними: 1/2 * а * а * sin120 = 1/2 * a * sin(180 - 60) =  1/2 * a * sin60 = 1/2 * a * 3/2 = a3/4.

Суммируем все площади:

S = a3/4 + а + а + a3/4 = 2а + a3/2.

7) Площадь вписанного в окружность четырехугольника можно вычислить по формуле S = (p a)(p b)(p c)(p d), где р это полупериметр четырехугольника, a, b, c и d стороны.

p = (7 + 24 + 20 + 15)/2 = 66/2 = 33.

S = (33 7)(33 24)(33 20)(33 15) = (26 * 9 * 13 * 18) = (2 * 13 * 9 * 13 * 2 * 9) = 2 * 13 * 9 = 234 см.