Что больше: сумма кубов катетов либо куб гипотенузы в прямоугольном треугольнике?

Докажем, что в прямоугольном треугольнике куб гипотенузы всегда больше чем сумма кубов катетов.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через a и b, а гипотенузу через с.

Докажем, что в таком случае всегда выполняется неравенство:

с³ gt; a³ + b³.

Поскольку обе доли неравенства положительны, можем возвести их в квадрат:

с⁶ gt; (a³ + b³)². 

Согласно аксиоме Пифагора, с² = a² + b².

Подставляя данное значение с² в неравенство, получаем:

(a² + b²)³ gt; (a³ + b³)²;

а⁶ + 3а⁴b² + 3a²b⁴ + b⁶ gt; a⁶ + 2a³b³ + b⁶;

3а⁴b² + 3a²b⁴ gt; 2a³b³;

3а⁴b² + 3a²b⁴ - 2a³b³ gt; 0;

3a²b² * (a² + b² - (2/3)ab) gt; 0.

Уменьшая на 3a²b², получаем:

a² + b² - (2/3)ab gt; 0;

a² + b² - 2ab + 2ab - (2/3)ab gt; 0;

a² - 2ab + b² + (4/3)ab gt; 0;

(а - b)² + (4/3)ab gt; 0.

Левая часть приобретенного неравенства переставляет собой сумму величины а - b в квадрате и положительной величины (4/3)ab.

Так как квадрат числа всегда больше или равен нулю, то приобретенное неравенство производится при всех положительных а и b.

Следовательно, в прямоугольном треугольнике куб гипотенузы всегда больше чем сумма кубов катетов.