В основании четырехугольной пирамиды с вышиной 6 лежит прямоугольник с диагональю

1) V = 1/3 * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды;

2) Так как основания - прямоугольник, пусть a - длина прямоугольника, b - ширина прямоугольника, c - диагональ прямоугольника, тогда по условию a = 12, c = 13;

3) у нас есть прямоугольный треугольник (в прямоугольнике), где a, b - катеты, c - гипотенуза, то по аксиоме Пифагора:

с^2 = a^2 + b^2;

13^2 = 12^2 + b^2;

b^2 = 169 - 144;

b^2 = 25;

b = 5;

4) Тогда площадь основания равна произведению длины на ширины:

S = 12 * 5 = 60;

5) V = 1/3 * 60 * 6 = 2 * 60 = 120 см^3.

Ответ: 120 см^3.