Отыскать наивеличайшее и меньшее значение f(x)=x^3-2x^2+1. [0.5;бесконечность] f(x)=2x+6это все род корнем

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1, на промежутке [0,5; +].

Поначалу нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции.

f(x) = (x^3 - 2x^2 + 1) = 3x^2 4x.

Точки экстремума

f = 0:

3x^2 4x = 0,

x (3x 4) = 0,

x = 0,

x = 4/3.

Получим: х = 0 и x = 4/3 точки экстремума функции.

При х lt; 0, f gt; 0, функция подрастает.

При 0 lt; х lt; 4/3, f lt; 0, функция убывает.

При х gt; 4/3, f gt; 0, функция возрастает.

Наивеличайшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, или на концах отрезка.

Точка х = 0 не принадлежит интервалу [0,5; +].

При х = 0,5, у = (0,5)^3 2 * (0,5)^2 + 1 = 0,125 0,5 + 1 = 0,625.

При х = 4/3, у = (4/3)^3 2 * (4/3)^2 + 1 = 64/27 32/9 + 1 = (64 96 + 27) / 9 = -5/9.

При х = +, у = +.

Таким образом, yнаим = у(4/3) = -5/9, yнаиб = у(+) = +.

Ответ: yнаим = -5/9, yнаиб = +.

f(x) = (2x + 6) х на интервале [-3; +].

Область определения: 2х + 6 gt; 0, х gt; -3.

Найдем производную функции.

f(x) = ((2x + 6) х) = 1/(2(2x + 6)) - 1.

Точки экстремума

f = 0:

1/(2(2x + 6)) - 1 = 0,

1/(2(2x + 6)) = 1,

2(2x + 6) = 1,

(2x + 6) = 0,5,

2х + 6 = 0,25,

2х = 0,25 6,

х = -23/8.

f не существует при 2х + 6 = 0, х = -3.

Получим: х = -23/8 и x = -3 точки экстремума функции.

При х lt; -3, f и f(x) не существует.

При -3 lt; х lt; -23/8, f gt; 0, функция возрастает.

При х gt; -23/8, f lt; 0, функция убывает.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается или в точке экстремума, либо на концах отрезка.

При х = -3, у = (-6 + 6) + 3 = 3.

При х = -23/8, у = (-23/4 + 6) + 23/8 = 0,5 + 2,875 = 3,375.

При х = +, у = -.

Таким образом, yнаим = у(+) = -, yнаиб = у(-23/8) = 3,375.

Ответ: yнаим = -, yнаиб = 3,375.