Решить неравенство (2x/x-3)+1 amp;lt; 2

Управляло раскрытия модуля: если х lt; a, то x lt; a и x gt; -a.

2x/(x - 3) + 1 lt; 2.

Выходит система неравенств: 2x/(x - 3) + 1 lt; 2; 2x/(x - 3) + 1 gt; -2.

Решаем каждое неравенство поначалу раздельно:

1) 2x/(x - 3) + 1 lt; 2;

2x/(x - 3) + 1 - 2 lt; 0;

2x/(x - 3) - 1 lt; 0;

приведем к общему знаменателю:

2x/(x - 3) - (х - 3)/(х - 3) lt; 0;

(2x - х + 3)/(х - 3) lt; 0;

(х + 3)/(х - 3) lt; 0.

Решим неравенство методом промежутков.

х + 3 = 0; х = -3.

х - 3 = 0; х = 3.

Корешки неравенства равны -3 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -3 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого промежутка, начиная в последнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) -3 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства lt; 0, то ответом будут интервалы, где стоит символ (-).

Решением неравенства будет просвет (-3; 3).

2) 2x/(x - 3) + 1 gt; -2;

2x/(x - 3) + 1 + 2 gt; 0;

2x/(x - 3) + 3 gt; 0;

2x/(x - 3) + 3(х - 3)/(х - 3) gt; 0;

(2x + 3х - 9)/(х - 3) gt; 0;

(5х - 9)/(х - 3) gt; 0;

5х - 9 = 0; х = 9/5 = 1,8.

х - 3 = 0; х = 3.

Корешки неравенства одинаковы 1,8 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 1,8 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого промежутка, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) 1,8 (-) 3 (+).

Так как символ неравенства gt; 0, то ответом будут интервалы, где стоит символ (+).

Решением неравенства будут промежутки (-; 1,8) и (3; +).

3) Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств: (-3; 3), (-; 1,8) и (3; +), штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и будет решение системы неравенств: 

(-3; 1,8).