Решите неравенства под корнем х+1 amp;lt; х-1 под корнем х+1 amp;lt;

1) (х + 1) lt; х - 1.

Возведем неравенство в квадрат, чтоб избавиться от квадратного корня:

((х + 1))^2 lt; (х - 1)^2.

х + 1 lt; х^2 - 2х + 1;

х^2 - 2х + 1 gt; х + 1;

х^2 - 2х + 1 - х - 1 gt; 0;

х^2 - 3х gt; 0;

х(х - 3) gt; 0.

Решим неравенство способом промежутков.

Ноходим корешки неравенства:

х = 0.

х - 3 = 0; х = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а позже чередуя плюс и минус.

(+) 0 (-) 3 (+).

Так как символ неравенства gt; 0, то ответом будут интервалы, где стоит символ (+).

Решением неравенства будут промежутки (-; 0) и (3; +).

Дальше работаем по образчику.

2) (х + 1) lt; х + 1.

х + 1 lt; х^2 + 2х + 1;

х^2 + 2х + 1 gt; х + 1;

х^2 + 2х + 1 - х - 1 gt; 0;

х^2 + х gt; 0;

х(х + 1) gt; 0.

х = 0; х = -1.

(+) -1 (-) 0 (+).

Так как знак неравенства gt; 0, то решением неравенства будут промежутки (-; -1) и (0; +).

3) (х + 1) gt; x - 1.

х + 1 gt; х^2 - 2х + 1;

х^2 - 2х + 1 lt; х + 1;

х^2 - 2х + 1 - х - 1 lt; 0;

х^2 - 3х lt; 0;

х(х - 3) lt; 0.

х = 0; х = 3.

(+) 0 (-) 3 (+).

Так как символ неравенства lt; 0, то решением неравенства будет промежуток (0; 3).

4) (2x + 1) gt; x - 1.

2х + 1 gt; x^2 - 2х + 1;

x^2 - 2х + 1 lt; 2х + 1;

x^2 - 2х + 1 - 2х - 1 lt; 0;

x^2 - 4х lt; 0;

х(х - 4) lt; 0.

х = 0; х = 4.

(+) 0 (-) 4 (+).

Так как символ неравенства lt; 0, то решением неравенства будет промежуток (0; 4).

5) (3 - x) gt; x - 1.

3 - х gt; x^2 - 2х + 1;

x^2 - 2х + 1 lt; 3 - х;

x^2 - 2х + 1 - 3 + х lt; 0;

x^2 - х - 2 lt; 0.

Осмотрим функцию у = x^2 - х - 2, это квадратичная парабола, ветки вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - х - 2 = 0.

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 (D = 3);

х₁ = (1 - 3)/2 = -2/2 = -1.

х₂ = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 2, схематически живописуем параболу, проходящую через эти точки (ветви ввысь). Неравенство имеет знак lt; 0, означает решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-1; 2).