Вычислите производную тригонометрической функции при х=П/8 f(x)=cos2x(1+sin2x)

Найдём производную функции: f(x) = cos 2x * (1 + sin 2x).

Воспользовавшись формулами:

(sin x) = cos x (производная главный элементарной функции).

(cos x) = - sin x (производная основной простой функции).

(с) = 0, где с const (производная главный элементарной функции).

(uv) = uv + uv (главное верховодило дифференцирования).

(u + v) = u + v (основное управляло дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x) = (cos 2x * (1 + sin 2x)) = (cos 2x) * (1 + sin 2x) + cos 2x * (1 + sin 2x) = (2x) * (cos 2x) * (1 + sin 2x) + cos 2x * ((1) + (sin 2x)) = (2x) * (cos 2x) * (1 + sin 2x) + cos 2x * ((1) + (2x) * (sin 2x)) = 2 * (- sin 2x) * (1 + sin 2x) + cos 2x * (0 + 2 * cos 2x) = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + cos 2x * 2cos 2x = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + 2cos^2 2x.

Вычислим значение производной в точке х0 = / 8:

f( / 8) = - 2sin (2 * / 8) * (1 + sin (2 * / 8)) + 2cos^2 (2 * / 8) = - 2sin ( / 4) * (1 + sin ( / 4)) + 2cos^2 ( / 4) = - 2 * (2 / 2) * (1 + (2 / 2)) + 2 *(2 / 2) = - 2 * (1 + (2 / 2)) + 2 = - 2 + 1 + 2 = 1.

Ответ: f(x) = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + 2cos^2 2x, a f( / 8) = 1.