К числу 37 припиши справа и слева одну и ту же

1. Цифру 6 можно представить как творенье обычных множителей 2 и 3.
То есть, 6 = 2 * 3. 

2. Потому, что бы разыскиваемое число можно было бы разделить на 6, необходимо:

• чтоб оно делилось на 2, то есть было четным;
• чтобы оно делилось на 3, то есть сумма его цифр делилась на 3.

3. Из первого требования (четность) следует, что цифра, которую необходимо приписать, обязана быть четной. То есть: 2, 4, 6, 8. Цифра 0 тоже удовлетворяет первому требованию.

4. Проверим эти числа на соответствие второму требованию. Сумма цифр числа 37 одинакова 10. То есть требованию удовлетворяет только цифра 4. Если ее приписать справа и слева, сумма цифр числа будет 18, и оно будет делится на 3.

Ответ: к 37 нужно приписать цифру 4. Получим число 4374, которое при дроблении на 6 дает 729.