Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии одинакова 16,а 6-ой её

Дано: (a_n) арифметическая прогрессия;

a₃ + a₅ = 16,  a₆ - a₂ = 12;

Отыскать: d, a₁ - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n 1), где a₁ 1-ый член прогрессии, d разность прогрессии, n количество её членов.

С поддержкою этой формулы представим 2-ой, 3-ий, 5-ый и шестой члены данной прогрессии:

a₂ = a₁ + d (2 1) = a₁ + d;

a₃ = a₁ + d (3 1) = a₁ + 2d;

a₅ = a₁ + d (5 1) = a₁ + 4d;

a₆ = a₁ + d (6 1) = a₁ + 5d.

Т.о. имеем: (a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 16  [1]  и  (a₁ + 5d) (a₁ + 2d) = 12   [2].

Преобразуем сначала [2] уравнение:

(a₁ + 5d) (a₁ + 2d) = 12;

a₁ + 5d a₁ - 2d = 12;

3d = 12;

d = 4.

Преобразуем [1] уравнение и подставим в него полученное значение разности d:

(a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 16;

2a₁ + 5d = 16;

2a₁ + 5 * 4 = 16;

2a₁ = 16 - 20;

2a₁ = -4;

a₁ = -2.

Ответ: a₁ = -2; d = 4.