В арифметической прогрессии знамениты S(20)=470 и S(80)=9080. Найдите S(100).

Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2, где а1 1-ый член арифметической прогрессии, d разность арифметической прогрессии.

Сообразно условию задачи, сумма S20 первых 20 членов данной арифметической прогрессии одинакова 470, сумма S80 первых 80 членов данной арифметической прогрессии равна 9080.

Подставляя эти значения, а также значения n = 20 и n = 80 в формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, получаем:

(2 * a1 + d * (20 - 1)) * 20 / 2 = 470;

(2 * a1 + d * (80 - 1)) * 80 / 2 = 9080.

Упрощая первое уравнение, получаем:

(2 * a1 + d * 19) * 10 = 470;

2 * a1 + d * 19 = 470 / 10;

2 * a1 + d * 19 = 47.

Упрощая 2-ое уравнение, получаем:

(2 * a1 + d * 79) * 40 = 9080;

2 * a1 + d * 79 = 9080 / 40;

2 * a1 + d * 79 = 227.

Вычитая 1-ое уравнение из второго, получаем:

2 * a1 + d * 79 - 2 * a1 - d * 19 = 227 - 47;

d * 60 = 180;

d = 180 / 60;

d = 3.

Подставляя  отысканное значение d = 3 в уравнение 2 * a1 + d * 19 = 47, обретаем а1:

2 * a1 + 3 * 19 = 47;

2 * a1 + 57 = 47;

2 * a1 = 47 - 57;

2 * a1 = -10;

a1 = -10 / 2;

a1 = -5.

Подставляя значения d = 3, a1 = -5, а также значение n = 100 в формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, находим S100:

S100 = (2 * a1 + d * (100 - 1)) * 100 / 2 = (2 * a1 + d * 99) * 50 = (2 * (-5) + 3 * 99) * 50= (-15 + 297) * 50 = 282 * 50 = 14100.

Ответ: S100 = 14100.