(x^2+3x-4)/(x^3-7x^2+14x-8)

Упростим выражение (х^2 + 3х - 4)/(х^3 - 7х^2 + 14х - 8).

1) Разложим числитель дроби на множители по формуле ax^2 + bx + x = a(x - x1)(x - x2).

x^2 + 3x - 4 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 3^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25; D = 5;

x = (-b D)/(2a);

x1 = (-3 + 5)/2 = 2/2 = 1;

x2 = (-3 - 5)/2 = -8/2 = -4;

x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4).

2) Разложим знаменатель на множители способом сортировки. Сгруппируем 1-ое и 4-ое слагаемые, и сгруппируем 2-ое и третье слагаемые.

(x^3 - 8) + (-7x^2 + 14x) = (x^3 - 2^3) + (-7x^2 + 14x) - первую скобку разложим на множители по формуле a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2); из второй скобки вынесем общий множитель (-7х);

(х - 2)(х^2 + 2х + 4) - 7х(х - 2) - вынесем за скобку общий множитель (х - 2);

(х - 2)(х^2 + 2х + 4 - 7х) = (х - 2)(х^2 - 5х + 4) - разложим выражение во 2-ой скобке на множители;

х^2 - 5х + 4 = 0;

D = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9; D = 3;

x1 = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4;

x2 = (5 - 3)/2 = 2/2 = 1;

x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4);

получаем знаменатель (х - 2)(х - 1)(х - 4).

3) Подставим разложения чтслителя и знаменателя в начальную дробь.

((х - 1)(х + 4))/((х - 2)(х - 1)(х - 4)) - сократим на (х - 1);

(х + 4)/((х - 2)(х - 4)).