Разложить на множители (y - z)^3 + (z - x)^3 +

Решение:

1. Раскрываем скобки по формуле куб разности (а b)³ = а ³ 3а ²b + 3аb² b³ и приводим подобные слагаемые:

(y z)³ + (z x)³ + (x y)³ = y³ 3y²z  + 3yz² z³ + z ³ 3z ²x + 3zx² x³ + x ³ 3x ²y + 3xy² y³ = y³ 3y²z  + 3yz² z³ + z ³ 3z ²x + 3zx² x³ + x ³ 3x ²y + 3xy² y³ = 3y²z  + 3yz² 3z ²x + 3zx² 3x ²y + 3xy².

1. Соединяем по три слагаемых и выносим общие множители за скобку:

( 3y²z  + 3yz² 3z ²x) + (3zx² 3x ²y + 3xy²) = 3z (y² yz + z x) + 3x(zx xy + y²).

1. Применим распределительный закон умножения c(a + b) = ca + cb следующим образом:

3z ((y² + z x) yz) + 3x((zx + y²) xy) = 3z(y² + z x) + 3z²y + 3x(y² + z x) 3х²y.

1. Объединим 1-ое и третье слагаемые, вынесем за скобку 3(y² + z x); объединим третье и четвёртое слагаемые, вынесем за скобку ( 3y) и разложим z² х² как разность квадратов:

3(y² + z x)(x z) + 3z²y 3х²y = 3(y² + z x)(x z) 3y(х² z²) = 3(y² + z x)(x z) 3y(х z)(х + z).

1. За скобку вынесем 3(х z) и упростим:

3(y² + z x)(x z) 3y(х z)(х + z) = 3(х z)[(y² + z x) y(х + z)] = 3(х z)(y² + z x yх y z).

1. Во второй скобке сгруппируем пары: первое и третье, второе и четвёртое слагаемые. Вынесем в парах общие множители y и ( z):

3(х z)((y² yх) + (z x y z)) = 3(х z)(y(y х) z(y х)).

1. В этой же скобке выносим общее выражение (y х) и получаем творенье трёх выражений:

3(х z)(y х)(y z).

Ответ: (y z)³ + (z x)³ + (x y)³ = 3(х z)(y х)(y z).