Является ли арифметической прогрессией последовательность (аn), данная формулой: 1) an =3n+1;

Если для каждого члена последовательности выполняется соотношение: а_n = (a_{n 1} + a_{n + 1}) / 2 (т.е. каждый член последовательности равен среднему арифметическому 2-ух примыкающих ее членов), то данная последовательность является арифметической прогрессией. Проверим исполненье этого соотношения для каждого пт задачки.

1)a_n = 3n + 1. Найдем формулу для n - 1-го и n + 1-го члена последовательности, подставив заместо n n 1 и n + 1 соответственно:

a_{n 1} = 3 * (n 1) + 1 = 3 * n 3 * 1 + 1 = 3n 3 + 1 = 3n 2;

a_{n + 1} = 3 * (n + 1) + 1 = 3 * n + 3 * 1 + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4.

Тогда (a_{n 1} + a_{n + 1}) / 2 = (3n 2 + 3n + 4) / 2 = (6n + 2) / 2 = 3n + 1 = a_n означает, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

2) a_n = n² 5.

a_{n - 1} = (n 1)² 5 = n² + 1² 2 *n * 1 5 = n² + 1 2n 5 = n² 2n 4;

a_{n + 1} = (n + 1)² 5 = n² + 1² + 2 *n * 1 5 = n² + 1 + 2n 5 = n² + 2n 4;

(a_{n 1} + a_{n + 1}) / 2 = (n² 2n 4 + n² + 2n 4) / 2 = (2n² 8) / 2 = n² 4