1. Найдите меньшее и наибольшее значения функции y=1/3x^3-x^2+1 на отрезке [-1;3].

1.  Решение: 

Найдем производную: ( 1/3x ³ - x ² + 1 ) = х - 2х.

Найдем критичные точки , решив уравнение х - 2х = 0;

х - 2х=0 х ( х - 2) = 0 ;  х₁ = 0 , х₂ = 2 ;

Отысканные значения находятся на отрезке [-1;3]. Подставляем -1, 0, 2, 3 в функцию и вычисляем его значения:

у(-1) = -1/3 ; у(0) = 1 ; у(2) = -1/3 ; у(3) = 1 ;

Из отысканных значений  выбираем   меньшее  -1/3\ ; и  наивеличайшее  1

Ответ: -1/3 ; 1.

 2.  Решение: 

1) При a=0   y = -30x +45x - 7  парабола, не имеет смысла. 

2) Чтоб график функции у = 5/3 ах ³ - 30x ² + 5(a+9)x - 7  вырастал необходимо, что бы  её производная была положительна на числовом промежутке.

Найдем производную функции: y=5ax² - 60x + 5(a + 9).

Разделяем все члены на 5 ; исследуем ax ² - 12x + a + 9  при ;

a