4sinx-3cosx=5

Решим тригонометрическое уравнение и найдем его корни.   

4 * sin x - 3 * cos x = 5; 

Возведем уравнение в квадрат. 

16 * sin^2 x - 24 * sin x * cos x + 9 * cos^2 x = 5 * cos^2 x + 5 * sin^2 x; 

16 * sin^2 x - 24 * sin x * cos x + 9 * cos^2 x - 5 * cos^2 x - 5 * sin^2 x = 0;  

11 * sin^2 x - 24 * sin x * cos x + 4 * cos^2 x = 0;  

Разделяем уравнение на cos^2 x. 

11 * tg^2 x - 24 * tg x + 4 = 0; 

Уравнение имеет 2 корня tg x = 2/11 и tg x = 2. 

Решим уравнения по отдельности. 

1) tg x = 2/11; 

x = arctg (2/11) + pi * n; 

2) tg x = 2; 

x = arctg (2) + pi * n.