Гипотенуза прямоугольного треугольника = 17 см. Если один из катетов уменьшить

Пусть 1-ый катет прямоугольного треугольника равен х, а 2-ой катет равен у. Зная, что гипотенуза одинакова 17 см, по аксиоме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) имеем х^2 + у^2 = 17^2. Если 1-ый катет уменьшим на 9 см, то он будет равен (х - 9) см, и в этом случае гипотенуза уменьшится на 7 см и будет одинакова 17 - 7 = 10 см. По теореме Пифагора получим (х - 9)^2 + у^2 = 10^2. Объединим уравнения в систему и решим её.

х^2 + у^2 = 17^2; (х - 9)^2 + у^2 = 10^2;

х^2 + у^2 = 289; (х - 9)^2 + у^2 = 100 - умножим почленно 1-ое уравнение системы на (-1);

-х^2 - у^2 = -289; (х - 9)^2 + у^2 = 100 - выполним почленное сложение уравнений системы;

(-х^2 + (х - 9)^2) + (-у^2 + у^2) = -289 + 100;

(х - 9)^2 - х^2 = -189;

х^2 - 18х + 81 - х^2 = -189;

-18х = -189 - 81;

-18х = -270;

х = -270 : (-18);

х = 15 (см) - первый катет.

х^2 + у^2 = 289;

у^2 = 289 - х^2;

у^2 = 289 - 15^2 = 289 - 225 = 64;

у1 = 64 = 8 (см) - 2-ой катет;

у2 = -8 - длина стороны не может быть отрицательной.

Из двух катетов 15 см и 8 см меньший будет 8 см.

Ответ. 8 см.