Дана окружность с центром в точке o и точка а ,

Решение задачки:

1. Представим графически задачку https://bit.ly/2s5l7Fj , где касательные от точки А образуют с окружностью одинаковые прямоугольные треугольники АМО = АNО, в которых знаменито основание АО = 50 и вышина на это основание МН = NH = МN : 2 = 48 : 2 = 24.

2. Для прямоугольного треугольника:

(ОМ МА) / АО = МН, отношение произведений катетов к основанию равно вышине на основание. Подставляем известные значения:

(ОМ МА) / 50 = 24,

МА = (50 24) / ОМ,

МА = 1200 / ОМ.

3. В АМО по теореме Пифагора:

МА² = АО² ОМ²,

(1200 / ОМ)² = 50² - ОМ², перейдем ОМ = r разыскиваемый радиус окружности,

(1200 / r)² = 50² - r², домножим обе доли равенства на r²,

(1200 / r)² * r² = (50² - r²) * r²,

1200² = 50² r² r⁴,

r⁴ - 50² r² + 1200² = 0, имеем биквадратное уравнение, делаем замену r² = R,

R² - 50² R + 1200² = 0,

D = 50² 4 1 1200² = 6250000 5760000 = 490000 gt; 0, 490000 = 700,

R₁ = (2500 + 700) / 2 = 1600,

R₂ = (2500 - 700) / 2 = 900,

r₁ = R₁ = 1600,

r₂ = R₂ = 900, условию подходят только положительные корни,

r₁ = 40,

r₂ = 30.

По условию АМ lt; ОМ, тогда выбираем великое значение.

Ответ:  r = 40.