При каком значении параметра а прямая y=3x+a касается параболы y=4x-x^2 Найдите

Прямая является касательной к параболе только в том случае, когда она имеет одну общую точку с параболой. Ординаты у у обоих графиков будут однообразные, потому приравняем правые доли уравнений у = 3х + а и у = 4х - х.

3х + а = 4х - х;

х - 4х + 3х + а = 0;

х - х + а = 0.

Так как у нас должна быть только одна общая точка, то это квадратное уравнение должно иметь только один корень. Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю.

D = b - 4ac;

D = (-1) - 4 * 1 * a = 1 - 4a;

1 - 4a = 0;

-4a = -1;

a = -1 : (-4);

a = 1/4.

Подставим значение а в уравнение х - х + а = 0 и  найдем абсциссу координаты точки касания.

х - х + 1/4 = 0.

Т.к. D = 0, то х = -b/(2a).

x = 1/2.

Найдем у из любого уравнения у = 3х + 1/4 либо у = 4х - х.

у = 3 * 1/2 + 1/4 = 3/2 + 1/4 = 6/4 + 1/4 = 7/4 = 1 3/4.

Либо у = 4 * 1/2 - (1/2) = 4/2 - 1/4 = 2 - 1/4 = 1 3/4.

Ответ. (1/2; 1 3/4).